В эпическом сериале Cosmos, чрезвычайно популярной в свое время научно-популярной ТВ-передаче Карла Сагана о космических исследованиях, многим запомнились такие вдохновенные слова: «Какая-то наша часть знает — это то, откуда мы пришли... Мы мечтаем о возвращении. И мы можем это сделать. Потому что космос также и внутри нас. Мы все сделаны из звездного материала. Мы — это способ для космоса познать себя...»
С подачи астронома Сагана цепляющий термин Star-stuff — «Звездный материал» — впоследствии у кого только не мелькал. Как краткий и очень поэтичный способ напомнить человеку о его космическом происхождении.
Ныне же, однако, с подачи нашего соотечественника, физика и компьютерщика Дмитрия Крюкова, появилась новая идея примерно в том же ключе. Быть может, не столь поэтичная, но в каком-то смысле даже более сильная.
То, чем стал человек в результате миллионов лет эволюции, — это все же несколько больше, чем просто химические элементы, из которых сделаны все планеты, звезды и галактики. Появляются свидетельства, что структура нашего мозга, а также нетривиальные вещи, которые мы с помощью этого мозга создаем, — структуры вроде Интернета, социальных сетей и так далее — по сути своей аналогичны той структуре, что лежит в основе самой Вселенной...
Именно таковы, в частности, результаты исследования, недавно опубликованные научным журналом Nature Scientific Reports в статье под названием «Сетевая космология» (Krioukov, D. et al. «Network Cosmology», Nature Scientific Reports, v.2, p.793, 2012, preprint).
Подробности о сути этой любопытной работы, проделанной интернациональным коллективом из шести ученых, будут изложены чуть далее, а здесь — рассказ об одном из главных ее соавторов.
Выпускник Санкт-Петербургского университета, физик-теоретик по базовому образованию и старший научный сотрудник Калифорнийского университета Сан-Диего по нынешнему роду занятий, Дмитрий Крюков живет и работает в США уже почти 20 лет. Широкая известность в стране и мире, однако, пришла к нему лишь совсем недавно. Причем при обстоятельствах столь необычных, что они заслуживают отдельной истории.
Если совсем кратко, то причиной «международной славы», которая в апреле 2012 года вынесла имя Дмитрия Крюкова в новостные сообщения СМИ всей планеты, стала такая совершенно заурядная, казалось бы, вещь, как судебная тяжба ученого с калифорнийскими гаишниками из-за спорного штрафа за нарушение дорожных правил.
Шума же этот сюжет наделал по той причине, что Крюков не только суд выиграл, но и сделал это без всяких услуг адвоката, написав и представив судье аналитическую научную статью-экспертизу с расчетами и графиками, доказывающую его невиновность.
Если же углубиться в подробности этой весьма поучительной истории, то суть дела была такова.
Сотрудник дорожной полиции, дежуривший возле здания университета, решил, что машина, управляемая Крюковым, проехала без остановки под знаком «Стоп». За что водителю, соответственно, тут же был выписан немалый штраф.
Если же верить аналитической версии Крюкова, то остановку он сделал, правил не нарушал, а виной всему было неудачное сочетание сразу трех физических феноменов, которые и ввели полицейского в заблуждение.
1. Когда Крюков подъезжал к стоп-знаку, полицейский оценивал не линейную скорость машины, а ее угловую скорость. Из-за этого происходит эффект смещенной оценки. Такая оценка происходит всякий раз, когда люди пытаются оценить скорость объекта, движущегося мимо них, причем эффект более заметен для более быстрых объектов.
Поезда, к примеру, кажутся двигающимися очень медленно, когда они находятся вдали, однако когда они проходят непосредственно рядом, то движение выглядит очень быстрым. Несмотря на эти две существенно разные оценки, в действительности поезд в обоих случаях движется примерно с одной скоростью.
В случае Крюкова патрульная машина полиции находилась примерно в 30 метрах от перекрестка со стоп-знаком, на дороге, перпендикулярной маршруту «нарушителя». Следовательно, автомобиль, приближающийся к перекрестку с постоянной скоростью, стал быстро увеличивать свою угловую скорость с точки зрения полицейского.
2. Аналогично, когда машина приближается к стоп-знаку с постоянной скоростью, но резко тормозит перед знаком, то ее угловая скорость сначала быстро нарастает, а затем моментально падает до нуля. Чтобы проиллюстрировать этот момент, Крюков выстроил два графика: один для случая проезда под стоп-знаком с постоянной линейной скоростью (нарушение) и второй для быстрой остановки перед знаком, прежде чем разогнаться опять до прежней скорости (по правилам).
Если посмотреть на график справа, то видно три линии разных цветов, где каждая линия соответствует разному характеру торможения перед знаком «Стоп». Синяя линия с самыми большими пиками отражает торможение 10 м/с2 — для машины Крюкова это почти технический максимум.
Случилось так, что именно данная линия наилучшим образом изображает то, что реально (в его версии) произошло с водителем. Потому что в тот день у Крюкова была очень сильная простуда, он то и дело чихал, и как раз один из таких моментов «сильного чиха» заставил его особенно резко дать по тормозам, когда он подъехал к знаку «Стоп».
Изюм же данного аргумента заключается в том, что сделанное по правилам торможение, но только сделанное быстро, со стороны может выглядеть очень похожим на то, что описывает график слева. Однако левый график в действительности изображает нарушение правил — как машина проезжает под знаком «Стоп» с постоянной скоростью порядка 40 километров в час.
3. Но как бы там ни было, в случае прямой видимости бдительный полицейский все равно смог бы заметить разницу между этими ситуациями. Однако в данном случае была еще одна машина, которая частично закрывала собой поле обзора для полицейского. И когда эта вторая машина на короткий момент частично закрыла собой автомобиль Крюкова, офицер мог пропустить тот краткий, но принципиально важный интервал с его остановкой перед знаком.
Такова, во всяком случае, была версия защиты. И в суде эти аргументы, очевидно, сработали. Как рассказывал потом Крюков: «судью это убедило... Она была очень, очень умной. И ухватила мои доводы, я думаю, очень точно... И даже полицейского это убедило тоже».
Математическую часть своих расчетов Крюков назвал очень простыми упражнениями. Добавив, что это все та самая физика и математика, которой учат школьников старших классов. Все, что ему потребовалось для доказательства своей невиновности, — это знание классической механики и немножко геометрии.
На вычисления ученому хватило минут 5-10, однако на написание статьи пришлось потратить уже несколько часов. Но все равно, шутит Крюков, это было намного быстрее и дешевле — написать статью и защищать себя в суде самому, нежели искать и оплачивать адвоката...
После того как новость о необычной судебной тяжбе разнеслась по калифорнийским, американским и мировым СМИ, Дмитрий Крюков поместил свою статью в архив научных препринтов. Для поддержки и стимуляции всех тех водителей, которые уверены, что полиция обвинила их в нарушении правил несправедливо (D. Krioukov, The Proof of Innocence).
Абстракт, или краткое резюме публикации выглядит довольно необычно: «Способ борьбы с автодорожными штрафами. Статья получила специальный приз — 400 долларов, которые автор уже не должен заплатить штату Калифорния...»
После столь продолжительного, приземленного, но одновременно и поучительного отступления пора, однако, вернуться к основным занятиям ученого Дмитрия Крюкова. В частности, к его совместной с коллегами и последней по времени работе под названием «Сетевая космология». Где продемонстрированы удивительно глубокие аналогии в структуре сложных сетей — от мозга и Интернета до устройства Вселенной.
Комментируя этот интересный результат, Крюков первым делом предупреждает: «Мы ни в коем случае не заявляем, будто Вселенная — это гигантский космический разум или компьютер». Но в то же время исследователи констатируют, что их статья демонстрирует отчетливые параллели между свойствами мозга и Вселенной: «Обнаруженная нами эквивалентность между ростом Вселенной и сложными сетями дает сильные основания полагать, что неожиданно схожие законы управляют динамикой этих очень разных сложных систем».
Если посмотреть список предыдущих работ Крюкова и его коллег в Сан-Диего, то несложно увидеть, что основная область их исследований — сетевая наука с отчетливым уклоном в инфотехнологические сложные сети. Давно известно, что при работе со сложными сетями особо трудной задачей здесь оказывается предсказание их поведения и управление эволюцией. Иначе говоря, четкое понимание, куда и как переходит динамическая система от одного состояния к другому в течение заданного промежутка времени.
При этом очень похожая по сути задача решается в области фундаментальной космологии, где теоретики пытаются постичь, куда и как развивается Вселенная. Попутно, вместе с развитием теории квантовой гравитации, все более общепринятой становится модель Вселенной как каузальной сети. То есть гигантской системы объектов, находящихся в дискретном пространстве-времени и связанных между собой причинно-следственными связями на основе метрики особого вида. (Из-за конечной скорости света два события могут иметь каузальную связь лишь в том случае, если свет и прочие взаимодействия успевают дойти от одного до другого.)
И в какой-то момент, коль скоро Дмитрий Крюков по своему базовому образованию физик-теоретик, пришла идея как следует сравнить динамику развития этих сложных сетей друг с другом. На первый взгляд вроде бы очевидно, что развитием Интернета и космоса управляют совершенно разные законы. Однако интуиция подсказывала ученым, что могут здесь быть и сюрпризы.
Короче говоря, команда исследователей решила заняться задачей крупномасштабной компьютерной симуляции для процесса роста Вселенной — на базе известного Суперкомпьютерного центра Сан-Диего, или SDSC. Создавая свою математическую модель, ученые отталкивались от гигантского числа, 10250, предполагаемого в качестве нижнего предела для количества дискретных «атомов» пространства-времени. Это абсолютно неподъемное для обсчетов число пришлось, конечно, существенно уменьшить, прежде чем был запущен симулятор каузальной сети Вселенной.
Под задачу была выделена одна из новейших систем SDSC, суперкомпьютер под названием Trestles. Этот внушительный вычислительный комплекс имеет 10368 процессорных ядер, пиковую производительность 100 терафлопс (триллионов операций с плавающей точкой в секунду), 20 терабайт оперативной памяти и 39 терабайт флеш-памяти внешней.
Но даже для такого мощного вычислителя на решение крутой космологической задачи могло потребоваться, по первоначальным прикидкам «в лоб», от трех до четырех лет работы. Однако при правильном подходе специалистов к задаче произошло маленькое — или же великое, как посмотреть, — чудо. Скорость обработки удалось кардинально увеличить, грамотно распараллелив и оптимизировав базовые процедуры вычислений. Так что в конечном итоге всю модель удалось обсчитать в течение одного дня работы машины.
Причем полученный ответ, к приятному удивлению исследователей, продемонстрировал, что представление пространства-времени расширяющейся Вселенной как каузальной сети в своей динамике оказалось неожиданно похожим на структуру сложных сетей типа Интернета, социальных сетей и биологических сетей вроде нейронной структуры нашего мозга.
Как полагают ученые, последствия их открытия и для сетевой науки, и для космологии представляются значительными: «Мы обнаружили, что динамика крупномасштабного роста у сложных сетей и у каузальных сетей асимптотически (то есть за большое время) та же самая. Этим объясняется и структурная похожесть между этими весьма разными, вообще говоря, сетями».
Но не может ли выявленная аналогия быть просто случайным совпадением? Конечно, соглашается Крюков, это возможно, однако вероятность такой случайности крайне мала. Совпадения в физике бывают чрезвычайно редко. А если что-то подобное и случается, то в конечном итоге для этого всегда находится рациональное объяснение. Однако далеко не всегда установить причину совпадения удается сразу.
И если и здесь открывшаяся эквивалентность структур — это вовсе не случайное совпадение, то тогда результат может означать вот что. Со временем может быть выявлен некий универсальный механизм для объяснения того, как работают сложные сетевые системы. Что-то типа общего знаменателя для Интернета, нашего мозга и самой Вселенной.
Или, как формулируют это сами первооткрыватели: «Структурные и динамические аналогии в различных реальных сетях предполагают, что динамику этих сетей могут описывать какие-то универсальные законы». Большая проблема лишь в том, что природу и происхождение этих законов еще только предстоит выяснить...
⇡#Великое объединение математики
Безусловно созвучной теме всеобщих законов, лежащих в основе любых проявлений природы, является и следующая история — о теории великого объединения математики. Именно так с некоторых пор стали называть крупномасштабный математический проект, более известный как программа Ленглендса. А Эдвард Френкель, один из самых колоритных представителей и проповедников этого проекта, — так уж сложилось — тоже является ученым российского происхождения, давно живущим и работающим в США.
Профессор математики в Калифорнийском университете Беркли, Эдвард Френкель известен в научном мире намного больше, чем герой предыдущей истории. Но здесь, однако, интерес представляют не многочисленные титулы и награды этого отнюдь не пожилого еще ученого (родился он в 1968 г.), а то, что и как он делает.
В частности, Эдвард Френкель был одним из главных научных организаторов Первого международного Симпозиума Филдсовской медали, проходившего в октябре этого года в Торонто, Канада. Медаль Филдса, как многие, наверное, знают, — это своего рода аналог Нобелевской премии в области математики.
Ну а регулярный, как задумано, симпозиум имени этой награды — это что-то вроде международного научно-популярного пиар-проекта, нацеленного на более широкую популяризацию достижений математической науки в народных массах.
Но прежде чем рассказывать, по каким причинам все это действительно интересно и важно, имеет смысл продемонстрировать, почему именно Эдвард Френкель оказался среди главных организаторов этой затеи.
В 2010 году на экраны кинотеатров, показывающих авторское кино «не для всех», вышел в высшей степени необычный французский фильм под названием «Ритуалы любви и математики». Необычность картины была не только в том, что автором идеи, соавтором сценария, сорежиссером, сопродюсером и исполнителем главной роли выступил известный математик Эдвард Френкель.
Необычным было и все остальное — что происходило в кадрах немого кинофильма, продолжающегося 26 минут. То есть без минимальной культурологической подготовки рядовой кинозритель, случайно увидевший подобную картину, наверняка остался бы, выражаясь помягче, в полном недоумении.
Одна из главных особенностей картины — это оммаж, как ныне выражаются, куда более известному кинофильму «Ритуал Любви и Смерти» японского писателя и кинематографиста Юкио Мисимы.
Древнее иностранное слово hommage на русский язык в прежние времена было принято передавать словом «гоминиум» — так в эпоху феодализма именовали клятву верности, которую вассал давал своему сеньору.
Ну а в эпоху постмодернизма, когда всякое новое произведение — это неизбежно перепевы, переделки и переосмысления чего-то когда-то уже кем-то сделанного, появились и новые значения у старых терминов. И старинная клятва феодалов, но уже в произношении «оммаж», возродилась в совершенном новом качестве — как своего рода знак уважения к творчеству предшественника.
Поскольку вся картина Френкеля подчеркнуто следует структуре фильма Мисимы, снятого в 1965-м, для начала полезно познакомиться с японской первоосновой. А также отметить, что в этом немом черно-белом фильме сам Юкио Мисима играет главную роль и предсказывает картину собственного самоубийства спустя 5 лет, в 1970-м — через ритуал сеппуку, также известный как харакири.
Практически все действие фильма происходит на фоне каллиграфической картины, изображающей надпись японскими иероглифами, которые означают «искренность», «честность», «честь» — в зависимости от контекста. Герой, армейский офицер, роль которого исполняет Мисима, разрывается между долгом перед императором и преданностью своим друзьям, которые пытались совершить государственный переворот, но были схвачены и приговорены к казни. Казнить же их должен сам герой, для которого выполнение приказа оказывается неразрешимой нравственной задачей. Единственно честный выход из этой ситуации он видит в самоубийстве. И приходит к жене для последнего прощания. Между ними происходит очень чисто и стилизованно изображенная сцена любви. После чего с жутким реализмом показана сцена вспарывания героем собственного живота. Затем, вслед за своим супругом, на тот свет отправляется и жена, зарезав себя иначе, но не менее ужасно...
Эдвард Френкель, много раз бывавший в Японии и с большим интересом относящийся к японскому искусству, получил чрезвычайно мощное эмоциональное впечатление от просмотра этой картины. Хотя, как он обязательно подчеркивает в комментариях, ему совершенно не близка мисимовская идея о тесном переплетении любви и смерти.
Как профессионального ученого-математика, Френкеля куда больше волнует роль его науки в жизни людей. И вот однажды, как бы случайно, во время командировки во Францию вокруг Френкеля как-то сами собой сложились обстоятельства таким образом, что появилась возможность снять фильм.
То есть подобралась группа заинтересованных людей, профессионально работающих в кино и готовых реализовать интересный проект, изображающий математику и занятие этим делом совсем не так, как принято обычно.
И вот что из этого получилось — с данью уважения к кино Юкио Мисимы.
Фильм тоже идет как немой, но в цвете. Как и в прообразе, между сценами появляются титры текстов, а все действие происходит «под знаком истины». В прямом смысле этого слова. Практически всегда на заднем фоне находится каллиграфическая картина Френкеля — слово ИСТИНА — с русскими буквами в форме математического знака интеграла.
Интрига также выглядит существенно иначе. После многих лет тяжких трудов математик обнаруживает формулу Любви. Она принесет людям вечную молодость, счастье и любовь. Но затем, к своему ужасу, ученый обнаруживает, что в злых руках эта же формула может быть использована неправильно, стать орудием зла, направленным против человечества. И тут же Силы Зла начинают преследовать математика, намереваясь отыскать его и любыми способами заставить отдать свою формулу. Ибо им она очень нужна для достижения собственных зловещих целей. И математик знает, что остановить Зло он не может никак.
Приняв решение — ни за что не отдавать свое открытие в руки Зла — он понимает, что дни его сочтены. Попрощавшись с женой в красивой эротической сцене (привет Мисиме), математик делает важнейшую вещь, прежде чем убить себя. Он записывает свою формулу татуировкой на теле возлюбленной — чтобы сохранить ее для человечества.
Как глубокий символ этого акта, в качестве места для татуировки выбран живот любимой. Страдания, которые приносит ей небыстрый процесс татуировки, напоминают о родовых муках женщины. Так что в итоге картины, в отличие от страданий и смерти женщины в фильме Мисимы, муки возлюбленной математика приводят к рождению новой надежды...
Интересно, что, когда в процессе съемок встал вопрос о конкретном виде собственно формулы Любви, Френкель сразу решил, что это будет какая-нибудь из его собственных формул. Проведя своеобразный кастинг, математик остановил выбор на весьма кучерявой и эстетически красивой формуле, появившейся в одной из его работ. Точнее, в большой, 100-страничной статье «Инстантоны за пределами топологической теории», написанной с двумя друзьями, Андреем Лосевым и Никитой Некрасовым, в 2006 году (E. Frenkel, A. Losev, and N. Nekrasov, Instantons beyond topological theory I, J. of Inst. Math. Jussieu 10 (2011) 463-565 ).
Коллегам-киношникам изящество формулы тоже понравилось. Но мастер по спецэффектам резонно заметил, что для нанесения такой красоты на живот девушки картинка все же чересчур великовата. Тогда математик подсократил выражение до более компактного вида — и конечный результат стал выглядеть вот так:
В прошлом фотомодель, а затем фотограф и кинорежиссер Рене Грейвс (Reine Graves), совместно с которой Френкель делал картину, по завершении работы признала, что математика — это одна из немногих областей человеческой деятельности, где еще осталась подлинная страсть...
Выход фильма вызвал немалый резонанс, создателей картины приглашали в самые разные страны на фестивали и показы. И всякий раз, рассказывает Френкель, после показа картины люди неизменно задают один и тот же вопрос: «Ну так как, вы правда знаете формулу любви?»
Ответ математика звучит так: «Каждая формула, которую мы создаем, это формула любви. Потому что занятие математикой — это творческое занятие, требующее страсти. Также как живопись, музыка и поэзия. Чтобы обнаружить что-то новое и вечное о мире, вы должны любить то, что делаете...»
После столь подробной истории о том, как русского происхождения математик, живущий в Америке, сделал во Франции кино на основе сугубо японского материала, всем должно стать совершенно понятно, что лучшего человека, чем профессор Эдвард Френкель, для продвижения в массы проекта под названием Langlands Program и найти невозможно.
Потому что он не только выглядит как киноактер и имеет очевидные организаторские таланты, но и к тому же является одаренным, самого высокого профессионального уровня ученым-математиком, одержимым идеей отыскания единства в основах мироздания.
Что же касается собственно программы Ленглендса, или «Теории великого объединения математики», то так называют большой комплекс взаимосвязанных задач, решение которых, похоже, ведет к совершенно грандиозной общей цели.
Понемногу, шаг за шагом математикам (а с некоторых пор и теоретикам-физикам) удается показать, что необъятный мир математических исследований, когда-то представлявшийся совокупностью самых разных и зачастую никак не связанных между собой территорий, на самом деле устроен в корне иначе. То есть области, которые прежде воспринимались как не имеющие ничего общего друг с другом, в действительности оказываются эквивалентными описаниями одной и той же, в сущности, структуры.
Структуры пока что чрезвычайно сложной в освоении. Но — как многие интуитивно чувствуют — элегантно простой и красивой в своей итоговой картине. Иначе говоря, единой конструкции в основе всей математики — наверняка прекрасной, но по сию пору наукой еще не постигнутой.
Интервью профессора Френкеля об истории и нынешнем состоянии в разработке программы Ленглендса (в переводе на русский) можно найти тут.
Фантасмагорическую историю о том, какие титанические усилия предпринимала в 1984 году приемная комиссия мехмата для того, чтобы не допустить к учебе в МГУ талантливого школьника из Коломны Эдика Френкеля, можно прочитать вот тут (тоже в русском переводе).
А на сайте препринтов ArXiv можно найти статью из сборника «Математика и культура» с подробным рассказом Френкеля о том, как он снимал свое кино. Но этот текст пока только на английском.